Родился в д. Букреевка, Щигровского уезда, Курской губернии (ныне Щигровский р-н, Курской области) в крестьянской семье.
Учился в семилетней сельской школе, по окончании которой поступил в Щигровский сельскохозяйственный техникум.
16 сентября 1941 г. призван в Красную армию и направлен в Камышинское танковое училище.
С февраля 1943 г. участвует в боевых действиях Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. на Курской дуге, Украине, Польше, Чехословакии. Был трижды ранен.
Командовал танковой ротой 100-й танковой бригады 31-го танкового корпуса 38-й армии 1-го Украинского фронта — ст. лейтенант.
10 апреля 1945 г. указом Президиума Верховного Совета СССР, за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм присвоено звание Герой Советского Союза.
24 июня 1945 г. А.Г. Ачкасов участвовал в Параде Победы в Москве на Красной площади.
С декабря 1945 г. капитан А.Г. Ачкасов в запасе.
После войны работал на различных должностях в Министерстве заготовок СССР.
В 1955-1965 гг. председатель Тавровского колхоза «По пути Ильича» Белгородской области.
С 1981 г. проживал в г. Белгород.
Почётный гражданин г. Белгорода и г. Щигры Курской области.
Скончался и похоронен в Белгороде.
Награды: орден Ленина, орден Красного Знамени, орден Отечественной войны I-й степени, медаль «За отвагу», медали СССР.
25 февраля 2010 г. имя А.Г. Ачкасова присвоено Тавровской школе Белгородского р-на.
Ист: Ачкасов Анатолий Григорьевич // Золотые звёзды курян: сборник очерков, документов и материалов / сост. Т. В. Иванова, В. Г. Плющев; под общ. ред. Т. И. Архипова. — Воронеж: Центрально-Чернозёмное книжное издательство, 1966. — С. 134—135. — 348 с.